Avviamo questa rubrica dedicata ai problemi matematici di scacchi con una classe di problemi di scacchi in cui è molto utile il calcolo combinatorio: i problemi di coda di scacchi.
Problemi di coda e aiuto matti in serie
Un problema di coda è un problema di scacchi con più soluzioni, che possono essere la stessa (o di più) con l’ordine delle mosse diverse.
La richiesta di un tale problema non è trovare la soluzione (perché non è unica e spesso almeno una è facile da trovare), ma contare( o valutare) il numero di tutte le possibili soluzioni.
Spesso e volentieri tali problemi non possono essere ragionevolmente risolti contando a mano il numero delle soluzioni, ma serve valutare il numero attraverso ragionamenti logici o spesso con ragionamenti combinatori, spesso avanzati.
Da questo deriva che tali problemi, che all’apparenza possono sembrare semplici, possano essere incredibilmente complicati e anche di grande interesse per ricerche nel campo del calcolo combinatorio!
Una classe interessanti di questi problemi sono gli aiuto-matto in serie in m mosse: sono esercizi con mossa al Nero dove si deve valutare il numero di possibili modi in cui il Nero, facendo m mosse di seguito, permette al Bianco di dare matto in una (la mossa di matto del Bianco è sempre la stessa per tutte le soluzioni).
Facciamo un esempio di questo tipo di problema con un primo esercizio risolto (la soluzione è sotto il diagramma.
Livello “facile”: Aiuto matto in serie in 14 mosse!
Soluzione:
Sia P l’insieme delle soluzioni di questo problema.
E’ chiaro che il pedone in a5 deve fare le mosse a5-a4-a3-a2-a1=A-Ae5-Ab8-Aa7 mentre il pedone a6 gioca a5-a4-a3-a2-a1=A-Ae5-Ab8 a cui segue la mossa del Bianco b7#.
Ovviamente il pedone nero a5 non può sorpassare quello in a4.
Si può scrivere simbolicamente questo in questa figura che nella teoria delle code è noto come “solution poset” dove “Poset” sta per “partially ordered set” (insieme parzialmente ordinato).
dove con P1 è il pedone nero che parte da a5, mentre P2 è l’altro nero mentre B1 e B2 sono gli stessi dopo la promozione.
Si osserva che in questa raffigurazione una mossa x è scritta sopra y ed è collegata da nodi discendenti verso y se la mossa x viene giocata dopo y.
E’ allora chiaro che la soluzione di tale problema può essere mappata nella soluzione del problema di enumerare i modi con cui labellare i vertici di P con i numeri 1,2,…,14 tale che il sito j può essere raggiunto da i muovendosi verso l’alto e lungo i nodi laterali con j>i.
L’etichetta su un vertice mappato dà il numero di mosse fatta finora nella soluzione. Tale mappatura è nota come “estensione lineare” di P e denotiamo il numero di estensioni lineari di P con e(P). Tale numero è il numero di soluzioni.
E’ abbastanza chiaro che il Poset P può essere considerato come un rettangolo 2×7.
Una estensione lineare di P è equivalente ad occupare le case di un rettangolo 2×7 con i numeri 1,2,…,14 con il tipo di regola data.
Il numero di rettangoli 2xn con case labellate con 1,2,…, 2n, tale che ogni colonna e traversa è percorsa ad aumentare è noto in letteratura come Numeri di Catalan C(n).
Si possono calcolare come:
Dato che C(7)=429 la risposta al problema è 429.
Esercizietto
Proponiamo di seguito un esercizio la cui risoluzione è analoga al precedente, ma di cui si darà la soluzione nel prossimo articolo della serie “Problemi Matematici di scacchi” ( e in cui ci saranno altri problemi di coda!)
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Fonti
Problemi di coda a scacchi: QUEUE PROBLEMS REVISITED by Richard P. Stanley
Curiosità
Sapevi che il famoso regista Stanley Kubrick era un grande appassionato di scacchi? Scoprilo nel nostro articolo:
Stanley Kubrick: un amante degli scacchi
Sapevi che il forse più famoso Supereroe di finzione, ovvero Spiderman, è stato pensato come un amante del gioco degli scacchi?
Scoprilo nel nostro articolo dedicato:
Il leggendario Anatoly Karpov ha giocato un ottimo torneo al recente Memorial Smyslov, dove non ha sfigurato davanti a giocatori top di oggi alla sua veneranda età di 70 anni e ha battuto anche Karjakin:
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Vedi: Anatoly Karpov: 70 anni di una leggenda degli scacchi
Passione Scacchista 
7 pensieri riguardo “Problemi matematici di scacchi/1: Calcolo combinatorio”